פתרונות ופורומים ל"אלבום פתרונות"- קינמיטקיה במישור

1. 2017,1-זריקה בזווית, כדור נבעט לשער

______________________________________________________________________________________

...
גרף 1.
הגרף מתאר את המהירות בכל רגע, כאשר המהירות חיובית הכדור נע בכיוון הציר, וכאשר המהירות שלילית הכדור נע נגד כיוון הציר. 
המשמעות של שיפוע הפונקציה בגרף היא תאוצת הכדור. בכיוון האנכי התנועה של הכדור היא זריקה כלפי מעלה.
המשמעות של שיפוע הפונקציה בגרף היא תאוצת הכדור. 
בכיוון האנכי תנועת הכדור היא זריקה כלפי מעלה , חלק מהזמן הכדור עולה וחלק מהזמן הכדור יורד , לכן חלק מהזמן מהירותו חיובית וחלק מהזמן מהירותו שלילית. הגרף היחיד המכיל גם ערכי מהירות חיובית וגם ערכי מהירות שלילית הוא גרף 1. לכן הגרף המייצג נכון את הרכיב האנכי של המהירות הוא גרף 1.
סימן המהירות וסימן התאוצה נקבעים בהתאם לכיוון ציר התנועה, בסעיף זה עדיין לא ברור מה כיוון ציר תנועה . אך ברור שכיוון התנועה משתנה.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...
שווה לו.
בתנועה בליסטית כוח הכובד פועל בכיוון אנכי והוא משפיע על התנועה האנכית בלבד. המהירות בכיוון האופקי לא משתנה. 
גודל הרכיב האופקי של מהירות הכדור בנקודה P שווה לגודל רכיב המהירות בנקודה Q . מכיוון שכוח הכובד הוא הכוח היחיד הפועל על הכדור והוא משפיע על תנועת הכדור בכיוון האנכי בלבד. המהירות האופקית לא משתנה כל זמן תנועת הכדור.
בכל תנועה בהשפעת כוח הכבידה בלבד , המהירות האופקית לא משתנה, בדינמיקה נבין זאת בצורה יותר טובה. כרגע אנחנו משתמשים בהיגיון כללי : כוח הכובד פועל בכיוון האנכי, והוא משפיע רק על התנועה האנכית.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...
שווה לו.
לכל הגופים הנעים בהשפעת כוח הכבידה על פני כדור הארץ יש תאוצה זהה ,תאוצת הגוף.
גודל התאוצה בנקודה P שווה לגודל התאוצה בנקודה Q. מכיוון שלכל הגופים הנעים על פני כדור הארץ יש תאוצה זהה, שגודלה בקירוב 10 מטר לשנייה בריבוע.
לא רק גודל התאוצה זהה, גם כיוון התאוצה בשתי הנקודות הוא זהה. בפרק הכבידה נבין מדוע כל הגופים הנעים על פני כדור הארץ נעים בתאוצה זהה בגודלה ובכיוונה.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...
נדרשת הוכחה, ההוכחה מופיעה בפתרון המלא.
ניתן להשתמש בעקרונות התנועה במישור ,ולמצוא את גובה הכדור ברגע שהוא חולף בקו השער .יש להוכיח שגובה הכדור בקו השער קטן מגובה השער. 
נמצא את גובה הכדור כאשר הוא מגיע לקו השער.

דרך א'- נפתח את ביטוי משוואת המסלול ונמצא בעזרתו את גובה הכדור בקו השער .

נבטא את זמן התנועה מתוך התנועה האופקית:

                                                                                                                              begin mathsize 18px style bold italic X bold equals bold italic X subscript bold 0 bold plus bold italic v subscript bold 0 bold italic x end subscript bold times bold italic t
bold italic X bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times bold italic t

box enclose bold t bold equals fraction numerator bold X over denominator bold v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction end enclose end style

 נכתוב את פונקציית המקום בתלות בזמן  עבור התנועה האנכית:

 

                                                                                                            begin mathsize 18px style y equals y subscript 0 plus v subscript 0 times t plus 1 half times a times t squared
y equals v subscript 0 y end subscript times t minus 1 half times g times t squared
bold italic y bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold sin bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times bold italic t bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold italic g bold times bold italic t to the power of bold 2
end style

                                                           

נציב את ביטוי זמן התנועה שמצאנו מהתנועה האופקית בפונקציית המקום זמן של התנועה האנכית:

 

                                                                     begin mathsize 18px style
bold italic y bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold sin bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times fraction numerator bold X over denominator bold v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold italic g bold times open parentheses fraction numerator bold X over denominator bold v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction close parentheses to the power of bold 2


end style

ונקבל את משוואת המסלול של גוף הנע בזריקה משופעת:

 

                                                                           begin mathsize 28px style
box enclose bold y bold equals bold X bold times bold tan bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis bold minus fraction numerator bold g bold times bold X to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold v subscript bold 0 to the power of bold 2 bold times bold cos to the power of bold 2 bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction end enclose
end style


נציב את נתוני התנועה הבליסטית ונמצא הגובה של הכדור בקו השער x=d:

begin mathsize 24px style bold y bold equals bold d bold times bold tan bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis bold minus fraction numerator bold g bold times bold d to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold v subscript bold 0 to the power of bold 2 bold times bold cos to the power of bold 2 bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction bold equals bold 11 bold times bold tan bold left parenthesis bold 55 bold right parenthesis bold minus fraction numerator bold 10 bold times bold 11 to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold 11 bold. bold 5 to the power of bold 2 bold times bold cos to the power of bold 2 bold left parenthesis bold 55 bold right parenthesis end fraction
bold y bold equals bold 15 bold. bold 7 bold minus bold 13 bold. bold 9 bold equals bold 1 bold. bold 8 bold italic m end style


 לכן, כאשר הכדור מגיע לקו השער הגובה של הכדור הוא 1.8 מטר מעל הקרקע.
 גובה זה קטן מגובה השער h , מכאן שבהתאם לנתוני השאלה הכדור נכנס לשער.

                                                                            

דרך ב' - נמצא את זמן תנועת הכדור מרגע הבעיטה ועד שהוא מגיע לקו השער,מהתנועה האופקית:


                                                                                         begin mathsize 18px style
bold italic d bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times bold italic t

bold t bold equals fraction numerator bold d over denominator bold v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction bold equals fraction numerator bold 11 over denominator bold 11 bold. bold 5 bold times bold cos bold left parenthesis bold 55 bold right parenthesis end fraction bold equals bold 1 bold. bold 66 bold italic S end style

נמצא את גובה הכדור ברגע שהוא חולף בקו השער מהתנועה האנכית:

begin mathsize 18px style y equals y subscript 0 plus v subscript 0 times t plus 1 half times a times t squared
y equals v subscript 0 y end subscript times t minus 1 half times g times t squared
bold italic y bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold sin bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times bold italic t bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold italic g bold times bold italic t to the power of bold 2 bold equals bold 11 bold. bold 5 bold times bold sin bold left parenthesis bold 55 bold right parenthesis bold times bold 1 bold. bold 667 bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold 10 bold times bold 1 bold. bold 667 to the power of bold 2 bold equals bold 15 bold. bold 7 bold minus bold 13 bold. bold 9 bold equals bold 1 bold. bold 8 bold italic m
end style


גם בדרך זו קיבלנו שגובה הכדור בקו השער הוא 1.8 מטר. לכן , בהתאם לנתוני השאלה הכדור נכנס בוודאות לשער.



דרך א'- נפתח את ביטוי משוואת המסלול ונמצא בעזרתו את גובה הכדור בקו השער .

נבטא את זמן התנועה מתוך התנועה האופקית:

                                                                                                                              begin mathsize 18px style bold italic X bold equals bold italic X subscript bold 0 bold plus bold italic v subscript bold 0 bold italic x end subscript bold times bold italic t
bold italic X bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times bold italic t

box enclose bold t bold equals fraction numerator bold X over denominator bold v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction end enclose end style

 נכתוב את פונקציית המקום בתלות בזמן  עבור התנועה האנכית:

 

                                                                                                            begin mathsize 18px style y equals y subscript 0 plus v subscript 0 times t plus 1 half times a times t squared
y equals v subscript 0 y end subscript times t minus 1 half times g times t squared
bold italic y bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold sin bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times bold italic t bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold italic g bold times bold italic t to the power of bold 2
end style

                                                           

נציב את ביטוי זמן התנועה שמצאנו מהתנועה האופקית בפונקציית המקום זמן של התנועה האנכית:

 

                                                                     begin mathsize 18px style
bold italic y bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold sin bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times fraction numerator bold X over denominator bold v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold italic g bold times open parentheses fraction numerator bold X over denominator bold v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction close parentheses to the power of bold 2


end style

ונקבל את משוואת המסלול של גוף הנע בזריקה משופעת:

 

                                                                           begin mathsize 28px style
box enclose bold y bold equals bold X bold times bold tan bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis bold minus fraction numerator bold g bold times bold X to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold v subscript bold 0 to the power of bold 2 bold times bold cos to the power of bold 2 bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction end enclose
end style


נציב את נתוני התנועה הבליסטית ונמצא הגובה של הכדור בקו השער x=d:

begin mathsize 24px style bold y bold equals bold d bold times bold tan bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis bold minus fraction numerator bold g bold times bold d to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold v subscript bold 0 to the power of bold 2 bold times bold cos to the power of bold 2 bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction bold equals bold 11 bold times bold tan bold left parenthesis bold 55 bold right parenthesis bold minus fraction numerator bold 10 bold times bold 11 to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold 11 bold. bold 5 to the power of bold 2 bold times bold cos to the power of bold 2 bold left parenthesis bold 55 bold right parenthesis end fraction
bold y bold equals bold 15 bold. bold 7 bold minus bold 13 bold. bold 9 bold equals bold 1 bold. bold 8 bold italic m end style


 לכן, כאשר הכדור מגיע לקו השער הגובה של הכדור הוא 1.8 מטר מעל הקרקע.
 גובה זה קטן מגובה השער h , מכאן שבהתאם לנתוני השאלה הכדור נכנס לשער.

                                                                            

דרך ב' - נמצא את זמן תנועת הכדור מרגע הבעיטה ועד שהוא מגיע לקו השער,מהתנועה האופקית:


                                                                                         begin mathsize 18px style
bold italic d bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times bold italic t

bold t bold equals fraction numerator bold d over denominator bold v subscript bold 0 bold times bold cos bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction bold equals fraction numerator bold 11 over denominator bold 11 bold. bold 5 bold times bold cos bold left parenthesis bold 55 bold right parenthesis end fraction bold equals bold 1 bold. bold 66 bold italic S end style

נמצא את גובה הכדור ברגע שהוא חולף בקו השער מהתנועה האנכית:

begin mathsize 18px style y equals y subscript 0 plus v subscript 0 times t plus 1 half times a times t squared
y equals v subscript 0 y end subscript times t minus 1 half times g times t squared
bold italic y bold equals bold italic v subscript bold 0 bold times bold sin bold left parenthesis bold italic alpha bold right parenthesis bold times bold italic t bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold italic g bold times bold italic t to the power of bold 2 bold equals bold 11 bold. bold 5 bold times bold sin bold left parenthesis bold 55 bold right parenthesis bold times bold 1 bold. bold 667 bold minus bold 1 over bold 2 bold times bold 10 bold times bold 1 bold. bold 667 to the power of bold 2 bold equals bold 15 bold. bold 7 bold minus bold 13 bold. bold 9 bold equals bold 1 bold. bold 8 bold italic m
end style


גם בדרך זו קיבלנו שגובה הכדור בקו השער הוא 1.8 מטר. לכן , בהתאם לנתוני השאלה הכדור נכנס בוודאות לשער.


1. ביטוי משוואת המסלול הוא שימושי , חשוב לדעת לפתח את הביטוי לבד, הביטוי לא מופיע בדפי הנוסחאות. יש לפתח את הביטוי לפני שמשתמשים בו.
2. סימן תאוצת הגוף תלוי בכיוון הציר האנכי. במקרה זה כיוון הציר הוא כלפי מעלה, לכן תאוצת הכובד היא שלילית.
2. סימן תאוצת הגוף תלוי בכיוון הציר האנכי. במקרה זה כיוון הציר הוא כלפי מעלה, לכן תאוצת הכובד היא שלילית.

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

...
לא.
יש להבין כיצד תלוי גובה הכדור בקו השער במהירות הבעיטה.

נשתמש בביטוי למיקומו האנכי של הכדור :

                           begin mathsize 28px style
box enclose bold y bold equals bold italic d bold times bold tan bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis bold minus fraction numerator bold g bold times bold d to the power of bold 2 over denominator bold 2 bold times bold v subscript bold 0 to the power of bold 2 bold times bold cos to the power of bold 2 bold left parenthesis bold alpha bold right parenthesis end fraction end enclose
end style

כאשר מהירות הכדור V0 היא אינסופית, המחוסר מתאפס , וגובה הכדור מעל השער הוא 15.7 מטר, הכדור עובר מעל השער .

לכן לא ניתן לומר בכל מהירות V0 גדולה יותר ,הכדור יכנס בוודאות.

1. לרוב, לאחר פיתוח ביטוי במהלך השאלה, יש להשתמש בביטוי זה כדי לפתור את הסעיפים הבאים.
2. תשובה כללית לא מבוססת על עקרונות פיזיקליים, (כמו אם המהירות גדולה מידי הכדור יעבור מעל השער), לא מזכה בנקודות.
2. תשובה כללית לא מבוססת על עקרונות פיזיקליים, (כמו אם המהירות גדולה מידי הכדור יעבור מעל השער), לא מזכה בנקודות.

______________________________________________________________________________________